基于通货膨胀和损失厌恶的DC养老金最优投资

doi:10.3969/j.issn.0253-2778.2018.05.011

摘要/Abstract

摘要： 主要研究了通货膨胀和损失厌恶下的DC养老金的最优投资问题.首先，应用伊藤公式得到通胀折现后真实股票价格的微分方程.然后，在前景理论的框架下，考虑通胀环境下的退休时刻终端财富期望效用最大化问题，应用鞅方法推导退休前任意时刻DC养老金最优投资策略的显式解.最后，应用蒙特卡洛方法对结果进行敏感度分析，分析损失厌恶对DC养老金最优投资策略的影响.

关键词: 损失厌恶, 通货膨胀, 前景理论, DC养老金, 最优投资, 鞅方法

Abstract: The optimal investment problem of DC pension under the inflation and loss aversion was studied.First， the stochastic differential equation of the real stock price after inflation was discounted by the Ito formula. Then， in the framework of prospect theory， considering the problem of maximizing the expected utility of terminal wealth discounted by inflation at retirement， the explicit solution of the optimal investment strategy of DC pension at any time before retirement was derived by using the martingale method.In the end， the impact of the loss aversion on the optimal investment strategy of DC pension was analyzed using the Monte-Carlo method.

Key words: loss aversion, inflation, prospect theory, DC pension, optimal investment, martingale method

中图分类号:

F832.48

王传玉，付春艳，盛国祥. 基于通货膨胀和损失厌恶的DC养老金最优投资[J]. 中国科学技术大学学报, 2018, 48(5): 420-430.

WANG Chuanyu, FU Chunyan, SHENG Guoxiang. Optimal investment of DC pension under the inflation and loss aversion[J]. Journal of University of Science and Technology of China, 2018, 48(5): 420-430.

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附录
A1 命题2.1证明
我们可以用拉格朗日对偶理论来求解问题（15）.首先定义问题（15）的拉格朗日算子：
L(X(T),λ)=E［U(X(T))］－λE［H(T)X(T)］+λX(0)+λE∫T0H(s)C(s)ds（A1）
那么，问题（15）等价于
infλ≥0supX(T)L(X(T),λ),X(T)≥0（A2）
先固定拉格朗日乘子，即求解以下问题：
supX(T)L(X(T),λ),X(T)≥0（A3）
问题（A3）为点态问题，可以求出显式解.然后，可以得到关于λ的最优化问题:
infλ≥0L(X*,λ(T),λ)（A4）
由于以上问题是关于X(T)的最优化问题，可以忽略和X(T)无关的的部分，以上问题可以简化为固定λ的问题：
maxX(T)E［U(X(T))］－λE［H(T)X(T)］,X(T)≥0（A5）
令U1(x)=－A(θ－x)γ1，U2(x)=B(x－θ)γ2.
当U(x)=U2(x)时，问题（A4）是一个凹的最优化问题，其解为
X*,λ2(T)=θ+λ*H(T)Bγ21γ2－1.
当U(x)=U1(x)时，问题（A5）是一个凸的最优化问题，其解为X*,λ1(T)=0或θ.
现在来比较X*,λ2(T)与X*,λ1(T)从而确定全局最优值.令
f(H(T))=U(X*,λ2)－λH(T)X*,λ2－［U(X*,λ1)－λH(T)X*,λ1］>0，
那么，X*,λ2(T)就是最优解.
当X*,λ1(T)=θ时，f(H(T))=B(1－γ2)Bγ2λH(T)γ21－γ2>0恒成立.因此X*,λ1(T)=θ不可能是最优解.
当X*,λ1(T)=0时， f(H(T))=B(1－γ2)Bγ2λH(T)γ21－γ2+Aθγ1－λθH(T).
显然，H(T)0.另外，limH(T)→+?SymboleB@f(H(T))=－?SymboleB@，f′(H(T))<0，因此，可以推断出方程f(H(T))=0在区间(Aλθγ1－1,+?SymboleB@)内存在唯一解.我们假设这个唯一解为H.由于f(H(T))是严格递减函数，所以H(T)≥H时，f(H(T))≤0；H(T)0.因此问题（A5）的最优解为
X*,λ(T)=θ+λ*H(T)Bγ21γ2－1, H(T)X*,λ(T)也是问题（A3）的解.下面求λ*.最优对(X*,λ*(T),λ*)满足对偶理论中的互补松弛条件:
λ*Eθ+λ*H(T)Bγ21γ2－1H(T)1{H(T) 当λ*=0时，预算约束不起作用.由于0<γ2<1，由（A6）可得，X*,λ*(T)=+?SymboleB@，H=+?SymboleB@，这种情况是不现实的.
当λ*>0时，预算约束有效.此时最优对(X*,λ*(T),λ*)满足条件:
Eθ+λ*H(T)Bγ21γ2－1H(T)1{H(T)（A8）的解即为最优拉格朗日乘子.
因此，X*,λ*(T)为问题（13）的解.
A2 命题2.2证明
由于市场完备，终端财富（14）在t时刻的最优财富为
X*,λ*(t)=1H(t)EH(T)X*,λ*(T)Lt－∫TtEH(s)H(t)C(s)Ltds（A9）
（A9）中第一部分是X*,λ*(T)在t时刻的风险中性价格；第二部分表示从t到T时间内累积缴费的财富值.
① 1H(t)EH(T)X*,λ*(T)Lt
=
1H(t)EH(T)θ1{H(T)由式（2）可得，r(t)=(r0－b)exp(－at)+b－σrexp(－at)×∫t0exp(as)dWr(s)，那么，
∫Ttr(s)ds=∫Tt(r(t)－b)exp(－a(s－t))+b－σrexp(－as)×∫t0exp(au)dWr(u)ds=(r(t)－b)1－exp(－a(T－t))a+b(T－t)－σr∫Ttexp(－as)∫stexp(au)dWr(u)ds=(r(t)－b)1－exp(－a(T－t))a+b(T－t)－σr∫Tt1－exp(－a(T－s))adWr(s)=
(r(t)－b)1－exp(－a(T－t))a+b(T－t)－∫t0σrA(s,T)dWr(s).
另外，∫Ttr(s)ds是一个正态分布随机变量，即
∫Ttr(s)ds~N(r(t)－b)1－exp(－a(T－t))a+b(T－t),
σ2ra2［(T－t)+2exp(－a(T－t))a－exp(－2a(T－t))2a－32a］.
由定价核H(t)的微分方程（14）可得，H(T)=H(t)exp(Nt)，
其中，
Nt=－∫Ttr(s)ds－12λ2r(T－t)－12(λS+σ2P1+σ2P2－μπσ2－σP2)2(T－t)－
λr［Wr(T)－Wr(t)］－(λS+σ2P1+σ2P2－μπσ2－σP2)［WS(T)－WS(t)］，
所以Nt也是一个正态分布随机变量，且
ENt=－(r(t)－b)1－exp(－a(T－t))a－b(T－t)－
12λ2r+(λS+σ2P1+σ2P2－μπσ2－σP2)2(T－t),
VarNt=σ2ra2(T－t)+2exp(－a(T－t))a－exp(－2a(T－t))2a－32a+
λ2r+(λS+σ2P1+σ2P2－μπσ2－σP2)2(T－t)－2λra(σr(T－t)－σrA(t,T)),
因此，
EθH(T)1{H(T)θH(t)∫lnHH(t)－?SymboleB@exp－(x－ENt)22VarNtex2πVarNtdx=
θH(t)2π∫ln(HH(t))－E{Nt}－Var{Nt}Var{Nt}－?SymboleB@exp－y22expENt+12VarNtdy=
θH(t)expENt+12VarNtΦlnHH(t)－ENt－VarNtVarNt.
同理，得
1H(t)EH(T)λ*H(T)Bγ21γ2－11{H(T)λ*H(t)Bγ21γ2－1expγ222(γ2－1)2VarNt+γ2γ2－1ENtΦ(d2(H))，
式中，d2(H)=lnHH(t)－ENt－γ2γ2－1VarNtVarNt.
②由方程（9）可得
C(s)=C(t)expμc－12σC1－12σC2(s－t)+σC1(Wr(s)－Wr(t))+σC2(WS(s)－WS(t))，s≥t.
因此，
EH(s)H(t)C(s)Lt=
EC(t)expμc－12σ2C1－12σ2C2－12λ2r－12(λS+σ2P1+σ2P2－μπσ2－σP2)2(s－t)exp(Q(t,s))=
C(t)expμc－12σ2C1－12σ2C2－12λ2r－12(λS+σ2P1+σ2P2－μπσ2－σP2)2(s－t)×
expEQ(t,s)+12VarQ(t,s),
式中，
Q(t,s)=－∫tsr(u)du+(σC1－λr)［Wr(s)－Wr(t)］+
(σC2－λS－σ2P1+σ2P2－μπσ2－σP2)［WS(s)－WS(t)］.
Q(t,s)也是一个正态分布随机变量，且，
EQ(t,s)=－(r(t)－b)1－exp(－a(s－t))a－b(s－t),
VarQ(t,s)=∫stσ2rA(u,s)2du+(σC1－λr)2(s－t)+ σC2－λS－σ2P1+σ2P2－μπσ2－σP22(s－t)+2(σC1－λr)∫stσrA(u,s)du.
令D(t,s)=EH(s)H(t)C(s)Lt，那么D(t,s)满足下面的倒向随机微分方程:
dD(t,s)D(t,s)=r(t)dt+(σC1+σrA(t,s))［λrdt+dWr(t)］+ σC2(λS+σ2P1+σ2P2－μπσ2－σP2)dt+dWS(t),D(s,s)=C(s), s≥t（A9）
令F(t,T)=∫TtD(t,s)ds，
F(t,T)也满足如下倒向随机微分方程:
dF(t,T)=－C(t)dt+r(t)F(t,T)dt+F1(t)［λrdt+dWr(t)］+
F2(t)(λS+σ2P1+σ2P2－μπσ2－σP2)dt+dWS(t),F(T,T)=0（A10）
其中，F1(t)=σC1F(t,T)+∫TtD(t,s)σrA(t,s)ds，F2(t)=σC2F(t,T).
综上，命题2.2得证.
A3 命题2.3证明
比较X*,λ*(t)的微分形式和方程（11），可以得到最优投资策略.
令G(t,r(t),H(t))=1H(t)EH(T)X*,λ*(T)Lt，那么，
dX*,λ*(t)=dG(t,r(t),H(t))－dF(t,T).
根据方程（2），（14）和（A10），dX*,λ*(t)的显式形式为
dX*,λ*(t)=□dt－σrG(t,r(t),H(t))r(t)+λrG(t,r(t),H(t))H(t)H(t)+F1(t)dWr(t)－
(λS+σ2P1+σ2P2－μπσ2－σP2)G(t,r(t),H(t))H(t)H(t)+F2(t)dWS(t)（A11）

式中，□表示某些和推导最优投资策略无关的函数.我们可以通过单独比较扩散部分的系数得到最优投资策略，所以只需计算dX*,λ*(t)的扩散部分的显式形式.比较式(A11)和方程（11），即可得式（18）.证毕.

第12期《中国科学技术大学学报》征稿简则

《中国科学技术大学学报》征稿简则
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