Optimal investment of DC pension under the inflation and loss aversion

doi:10.3969/j.issn.0253-2778.2018.05.011

Abstract

Abstract: The optimal investment problem of DC pension under the inflation and loss aversion was studied.First， the stochastic differential equation of the real stock price after inflation was discounted by the Ito formula. Then， in the framework of prospect theory， considering the problem of maximizing the expected utility of terminal wealth discounted by inflation at retirement， the explicit solution of the optimal investment strategy of DC pension at any time before retirement was derived by using the martingale method.In the end， the impact of the loss aversion on the optimal investment strategy of DC pension was analyzed using the Monte-Carlo method.

Key words: loss aversion, inflation, prospect theory, DC pension, optimal investment, martingale method

CLC Number:

F832.48

WANG Chuanyu, FU Chunyan, SHENG Guoxiang. Optimal investment of DC pension under the inflation and loss aversion[J]. Journal of University of Science and Technology of China, 2018, 48(5): 420-430.

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附录
A1 命题2.1证明
我们可以用拉格朗日对偶理论来求解问题（15）.首先定义问题（15）的拉格朗日算子：
L(X(T),λ)=E［U(X(T))］－λE［H(T)X(T)］+λX(0)+λE∫T0H(s)C(s)ds（A1）
那么，问题（15）等价于
infλ≥0supX(T)L(X(T),λ),X(T)≥0（A2）
先固定拉格朗日乘子，即求解以下问题：
supX(T)L(X(T),λ),X(T)≥0（A3）
问题（A3）为点态问题，可以求出显式解.然后，可以得到关于λ的最优化问题:
infλ≥0L(X*,λ(T),λ)（A4）
由于以上问题是关于X(T)的最优化问题，可以忽略和X(T)无关的的部分，以上问题可以简化为固定λ的问题：
maxX(T)E［U(X(T))］－λE［H(T)X(T)］,X(T)≥0（A5）
令U1(x)=－A(θ－x)γ1，U2(x)=B(x－θ)γ2.
当U(x)=U2(x)时，问题（A4）是一个凹的最优化问题，其解为
X*,λ2(T)=θ+λ*H(T)Bγ21γ2－1.
当U(x)=U1(x)时，问题（A5）是一个凸的最优化问题，其解为X*,λ1(T)=0或θ.
现在来比较X*,λ2(T)与X*,λ1(T)从而确定全局最优值.令
f(H(T))=U(X*,λ2)－λH(T)X*,λ2－［U(X*,λ1)－λH(T)X*,λ1］>0，
那么，X*,λ2(T)就是最优解.
当X*,λ1(T)=θ时，f(H(T))=B(1－γ2)Bγ2λH(T)γ21－γ2>0恒成立.因此X*,λ1(T)=θ不可能是最优解.
当X*,λ1(T)=0时， f(H(T))=B(1－γ2)Bγ2λH(T)γ21－γ2+Aθγ1－λθH(T).
显然，H(T)0.另外，limH(T)→+?SymboleB@f(H(T))=－?SymboleB@，f′(H(T))<0，因此，可以推断出方程f(H(T))=0在区间(Aλθγ1－1,+?SymboleB@)内存在唯一解.我们假设这个唯一解为H.由于f(H(T))是严格递减函数，所以H(T)≥H时，f(H(T))≤0；H(T)0.因此问题（A5）的最优解为
X*,λ(T)=θ+λ*H(T)Bγ21γ2－1, H(T)X*,λ(T)也是问题（A3）的解.下面求λ*.最优对(X*,λ*(T),λ*)满足对偶理论中的互补松弛条件:
λ*Eθ+λ*H(T)Bγ21γ2－1H(T)1{H(T) 当λ*=0时，预算约束不起作用.由于0<γ2<1，由（A6）可得，X*,λ*(T)=+?SymboleB@，H=+?SymboleB@，这种情况是不现实的.
当λ*>0时，预算约束有效.此时最优对(X*,λ*(T),λ*)满足条件:
Eθ+λ*H(T)Bγ21γ2－1H(T)1{H(T)（A8）的解即为最优拉格朗日乘子.
因此，X*,λ*(T)为问题（13）的解.
A2 命题2.2证明
由于市场完备，终端财富（14）在t时刻的最优财富为
X*,λ*(t)=1H(t)EH(T)X*,λ*(T)Lt－∫TtEH(s)H(t)C(s)Ltds（A9）
（A9）中第一部分是X*,λ*(T)在t时刻的风险中性价格；第二部分表示从t到T时间内累积缴费的财富值.
① 1H(t)EH(T)X*,λ*(T)Lt
=
1H(t)EH(T)θ1{H(T)由式（2）可得，r(t)=(r0－b)exp(－at)+b－σrexp(－at)×∫t0exp(as)dWr(s)，那么，
∫Ttr(s)ds=∫Tt(r(t)－b)exp(－a(s－t))+b－σrexp(－as)×∫t0exp(au)dWr(u)ds=(r(t)－b)1－exp(－a(T－t))a+b(T－t)－σr∫Ttexp(－as)∫stexp(au)dWr(u)ds=(r(t)－b)1－exp(－a(T－t))a+b(T－t)－σr∫Tt1－exp(－a(T－s))adWr(s)=
(r(t)－b)1－exp(－a(T－t))a+b(T－t)－∫t0σrA(s,T)dWr(s).
另外，∫Ttr(s)ds是一个正态分布随机变量，即
∫Ttr(s)ds~N(r(t)－b)1－exp(－a(T－t))a+b(T－t),
σ2ra2［(T－t)+2exp(－a(T－t))a－exp(－2a(T－t))2a－32a］.
由定价核H(t)的微分方程（14）可得，H(T)=H(t)exp(Nt)，
其中，
Nt=－∫Ttr(s)ds－12λ2r(T－t)－12(λS+σ2P1+σ2P2－μπσ2－σP2)2(T－t)－
λr［Wr(T)－Wr(t)］－(λS+σ2P1+σ2P2－μπσ2－σP2)［WS(T)－WS(t)］，
所以Nt也是一个正态分布随机变量，且
ENt=－(r(t)－b)1－exp(－a(T－t))a－b(T－t)－
12λ2r+(λS+σ2P1+σ2P2－μπσ2－σP2)2(T－t),
VarNt=σ2ra2(T－t)+2exp(－a(T－t))a－exp(－2a(T－t))2a－32a+
λ2r+(λS+σ2P1+σ2P2－μπσ2－σP2)2(T－t)－2λra(σr(T－t)－σrA(t,T)),
因此，
EθH(T)1{H(T)θH(t)∫lnHH(t)－?SymboleB@exp－(x－ENt)22VarNtex2πVarNtdx=
θH(t)2π∫ln(HH(t))－E{Nt}－Var{Nt}Var{Nt}－?SymboleB@exp－y22expENt+12VarNtdy=
θH(t)expENt+12VarNtΦlnHH(t)－ENt－VarNtVarNt.
同理，得
1H(t)EH(T)λ*H(T)Bγ21γ2－11{H(T)λ*H(t)Bγ21γ2－1expγ222(γ2－1)2VarNt+γ2γ2－1ENtΦ(d2(H))，
式中，d2(H)=lnHH(t)－ENt－γ2γ2－1VarNtVarNt.
②由方程（9）可得
C(s)=C(t)expμc－12σC1－12σC2(s－t)+σC1(Wr(s)－Wr(t))+σC2(WS(s)－WS(t))，s≥t.
因此，
EH(s)H(t)C(s)Lt=
EC(t)expμc－12σ2C1－12σ2C2－12λ2r－12(λS+σ2P1+σ2P2－μπσ2－σP2)2(s－t)exp(Q(t,s))=
C(t)expμc－12σ2C1－12σ2C2－12λ2r－12(λS+σ2P1+σ2P2－μπσ2－σP2)2(s－t)×
expEQ(t,s)+12VarQ(t,s),
式中，
Q(t,s)=－∫tsr(u)du+(σC1－λr)［Wr(s)－Wr(t)］+
(σC2－λS－σ2P1+σ2P2－μπσ2－σP2)［WS(s)－WS(t)］.
Q(t,s)也是一个正态分布随机变量，且，
EQ(t,s)=－(r(t)－b)1－exp(－a(s－t))a－b(s－t),
VarQ(t,s)=∫stσ2rA(u,s)2du+(σC1－λr)2(s－t)+ σC2－λS－σ2P1+σ2P2－μπσ2－σP22(s－t)+2(σC1－λr)∫stσrA(u,s)du.
令D(t,s)=EH(s)H(t)C(s)Lt，那么D(t,s)满足下面的倒向随机微分方程:
dD(t,s)D(t,s)=r(t)dt+(σC1+σrA(t,s))［λrdt+dWr(t)］+ σC2(λS+σ2P1+σ2P2－μπσ2－σP2)dt+dWS(t),D(s,s)=C(s), s≥t（A9）
令F(t,T)=∫TtD(t,s)ds，
F(t,T)也满足如下倒向随机微分方程:
dF(t,T)=－C(t)dt+r(t)F(t,T)dt+F1(t)［λrdt+dWr(t)］+
F2(t)(λS+σ2P1+σ2P2－μπσ2－σP2)dt+dWS(t),F(T,T)=0（A10）
其中，F1(t)=σC1F(t,T)+∫TtD(t,s)σrA(t,s)ds，F2(t)=σC2F(t,T).
综上，命题2.2得证.
A3 命题2.3证明
比较X*,λ*(t)的微分形式和方程（11），可以得到最优投资策略.
令G(t,r(t),H(t))=1H(t)EH(T)X*,λ*(T)Lt，那么，
dX*,λ*(t)=dG(t,r(t),H(t))－dF(t,T).
根据方程（2），（14）和（A10），dX*,λ*(t)的显式形式为
dX*,λ*(t)=□dt－σrG(t,r(t),H(t))r(t)+λrG(t,r(t),H(t))H(t)H(t)+F1(t)dWr(t)－
(λS+σ2P1+σ2P2－μπσ2－σP2)G(t,r(t),H(t))H(t)H(t)+F2(t)dWS(t)（A11）

式中，□表示某些和推导最优投资策略无关的函数.我们可以通过单独比较扩散部分的系数得到最优投资策略，所以只需计算dX*,λ*(t)的扩散部分的显式形式.比较式(A11)和方程（11），即可得式（18）.证毕.

第12期《中国科学技术大学学报》征稿简则

《中国科学技术大学学报》征稿简则
《中国科学技术大学学报》由郭沫若、华罗庚和严济慈等一大批老一辈科学家亲手于1965年在北京创刊，先后有39位院士担任编委.由中国科学院主管，中国科学技术大学主办，为综合性自然科学国家重点级核心学术期刊（月刊，国内外公开发行），主要刊登具有创新性、高水平的学术论文以及由科学大家或知名教授撰写的反映学科前沿的评述，并且开辟专家论坛，就一些重大科学研究问题进行有益的讨论.
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