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附录 A1 命题2.1证明 我们可以用拉格朗日对偶理论来求解问题(15).首先定义问题(15)的拉格朗日算子: L(X(T),λ)=E[U(X(T))]-λE[H(T)X(T)]+λX(0)+λE∫T0H(s)C(s)ds(A1) 那么,问题(15)等价于 infλ≥0supX(T)L(X(T),λ),X(T)≥0(A2) 先固定拉格朗日乘子,即求解以下问题: supX(T)L(X(T),λ),X(T)≥0(A3) 问题(A3)为点态问题,可以求出显式解.然后,可以得到关于λ的最优化问题: infλ≥0L(X*,λ(T),λ)(A4) 由于以上问题是关于X(T)的最优化问题,可以忽略和X(T)无关的的部分,以上问题可以简化为固定λ的问题: maxX(T)E[U(X(T))]-λE[H(T)X(T)],X(T)≥0(A5) 令U1(x)=-A(θ-x)γ1,U2(x)=B(x-θ)γ2. 当U(x)=U2(x)时,问题(A4)是一个凹的最优化问题,其解为 X*,λ2(T)=θ+λ*H(T)Bγ21γ2-1. 当U(x)=U1(x)时,问题(A5)是一个凸的最优化问题,其解为X*,λ1(T)=0或θ. 现在来比较X*,λ2(T)与X*,λ1(T)从而确定全局最优值.令 f(H(T))=U(X*,λ2)-λH(T)X*,λ2-[U(X*,λ1)-λH(T)X*,λ1]>0, 那么,X*,λ2(T)就是最优解. 当X*,λ1(T)=θ时,f(H(T))=B(1-γ2)Bγ2λH(T)γ21-γ2>0恒成立.因此X*,λ1(T)=θ不可能是最优解. 当X*,λ1(T)=0时, f(H(T))=B(1-γ2)Bγ2λH(T)γ21-γ2+Aθγ1-λθH(T). 显然,H(T)0.另外,limH(T)→+?SymboleB@f(H(T))=-?SymboleB@,f′(H(T))<0,因此,可以推断出方程f(H(T))=0在区间(Aλθγ1-1,+?SymboleB@)内存在唯一解.我们假设这个唯一解为H.由于f(H(T))是严格递减函数,所以H(T)≥H时,f(H(T))≤0;H(T)0.因此问题(A5)的最优解为 X*,λ(T)=θ+λ*H(T)Bγ21γ2-1, H(T)X*,λ(T)也是问题(A3)的解.下面求λ*.最优对(X*,λ*(T),λ*)满足对偶理论中的互补松弛条件: λ*Eθ+λ*H(T)Bγ21γ2-1H(T)1{H(T) 当λ*=0时,预算约束不起作用.由于0<γ2<1,由(A6)可得,X*,λ*(T)=+?SymboleB@,H=+?SymboleB@,这种情况是不现实的. 当λ*>0时,预算约束有效.此时最优对(X*,λ*(T),λ*)满足条件: Eθ+λ*H(T)Bγ21γ2-1H(T)1{H(T)(A8)的解即为最优拉格朗日乘子. 因此,X*,λ*(T)为问题(13)的解. A2 命题2.2证明 由于市场完备,终端财富(14)在t时刻的最优财富为 X*,λ*(t)=1H(t)EH(T)X*,λ*(T)Lt-∫TtEH(s)H(t)C(s)Ltds(A9) (A9)中第一部分是X*,λ*(T)在t时刻的风险中性价格;第二部分表示从t到T时间内累积缴费的财富值. ① 1H(t)EH(T)X*,λ*(T)Lt = 1H(t)EH(T)θ1{H(T)由式(2)可得,r(t)=(r0-b)exp(-at)+b-σrexp(-at)×∫t0exp(as)dWr(s),那么, ∫Ttr(s)ds=∫Tt(r(t)-b)exp(-a(s-t))+b-σrexp(-as)×∫t0exp(au)dWr(u)ds=(r(t)-b)1-exp(-a(T-t))a+b(T-t)-σr∫Ttexp(-as)∫stexp(au)dWr(u)ds=(r(t)-b)1-exp(-a(T-t))a+b(T-t)-σr∫Tt1-exp(-a(T-s))adWr(s)= (r(t)-b)1-exp(-a(T-t))a+b(T-t)-∫t0σrA(s,T)dWr(s). 另外,∫Ttr(s)ds是一个正态分布随机变量,即 ∫Ttr(s)ds~N(r(t)-b)1-exp(-a(T-t))a+b(T-t), σ2ra2[(T-t)+2exp(-a(T-t))a-exp(-2a(T-t))2a-32a]. 由定价核H(t)的微分方程(14)可得,H(T)=H(t)exp(Nt), 其中, Nt=-∫Ttr(s)ds-12λ2r(T-t)-12(λS+σ2P1+σ2P2-μπσ2-σP2)2(T-t)- λr[Wr(T)-Wr(t)]-(λS+σ2P1+σ2P2-μπσ2-σP2)[WS(T)-WS(t)], 所以Nt也是一个正态分布随机变量,且 ENt=-(r(t)-b)1-exp(-a(T-t))a-b(T-t)- 12λ2r+(λS+σ2P1+σ2P2-μπσ2-σP2)2(T-t), VarNt=σ2ra2(T-t)+2exp(-a(T-t))a-exp(-2a(T-t))2a-32a+ λ2r+(λS+σ2P1+σ2P2-μπσ2-σP2)2(T-t)-2λra(σr(T-t)-σrA(t,T)), 因此, EθH(T)1{H(T)θH(t)∫lnHH(t)-?SymboleB@exp-(x-ENt)22VarNtex2πVarNtdx= θH(t)2π∫ln(HH(t))-E{Nt}-Var{Nt}Var{Nt}-?SymboleB@exp-y22expENt+12VarNtdy= θH(t)expENt+12VarNtΦlnHH(t)-ENt-VarNtVarNt. 同理,得 1H(t)EH(T)λ*H(T)Bγ21γ2-11{H(T)λ*H(t)Bγ21γ2-1expγ222(γ2-1)2VarNt+γ2γ2-1ENtΦ(d2(H)), 式中,d2(H)=lnHH(t)-ENt-γ2γ2-1VarNtVarNt. ②由方程(9)可得 C(s)=C(t)expμc-12σC1-12σC2(s-t)+σC1(Wr(s)-Wr(t))+σC2(WS(s)-WS(t)),s≥t. 因此, EH(s)H(t)C(s)Lt= EC(t)expμc-12σ2C1-12σ2C2-12λ2r-12(λS+σ2P1+σ2P2-μπσ2-σP2)2(s-t)exp(Q(t,s))= C(t)expμc-12σ2C1-12σ2C2-12λ2r-12(λS+σ2P1+σ2P2-μπσ2-σP2)2(s-t)× expEQ(t,s)+12VarQ(t,s), 式中, Q(t,s)=-∫tsr(u)du+(σC1-λr)[Wr(s)-Wr(t)]+ (σC2-λS-σ2P1+σ2P2-μπσ2-σP2)[WS(s)-WS(t)]. Q(t,s)也是一个正态分布随机变量,且, EQ(t,s)=-(r(t)-b)1-exp(-a(s-t))a-b(s-t), VarQ(t,s)=∫stσ2rA(u,s)2du+(σC1-λr)2(s-t)+ σC2-λS-σ2P1+σ2P2-μπσ2-σP22(s-t)+2(σC1-λr)∫stσrA(u,s)du. 令D(t,s)=EH(s)H(t)C(s)Lt,那么D(t,s)满足下面的倒向随机微分方程: dD(t,s)D(t,s)=r(t)dt+(σC1+σrA(t,s))[λrdt+dWr(t)]+ σC2(λS+σ2P1+σ2P2-μπσ2-σP2)dt+dWS(t),D(s,s)=C(s), s≥t(A9) 令F(t,T)=∫TtD(t,s)ds, F(t,T)也满足如下倒向随机微分方程: dF(t,T)=-C(t)dt+r(t)F(t,T)dt+F1(t)[λrdt+dWr(t)]+ F2(t)(λS+σ2P1+σ2P2-μπσ2-σP2)dt+dWS(t),F(T,T)=0(A10) 其中,F1(t)=σC1F(t,T)+∫TtD(t,s)σrA(t,s)ds,F2(t)=σC2F(t,T). 综上,命题2.2得证. A3 命题2.3证明 比较X*,λ*(t)的微分形式和方程(11),可以得到最优投资策略. 令G(t,r(t),H(t))=1H(t)EH(T)X*,λ*(T)Lt,那么, dX*,λ*(t)=dG(t,r(t),H(t))-dF(t,T). 根据方程(2),(14)和(A10),dX*,λ*(t)的显式形式为 dX*,λ*(t)=□dt-σrG(t,r(t),H(t))r(t)+λrG(t,r(t),H(t))H(t)H(t)+F1(t)dWr(t)- (λS+σ2P1+σ2P2-μπσ2-σP2)G(t,r(t),H(t))H(t)H(t)+F2(t)dWS(t)(A11)
式中,□表示某些和推导最优投资策略无关的函数.我们可以通过单独比较扩散部分的系数得到最优投资策略,所以只需计算dX*,λ*(t)的扩散部分的显式形式.比较式(A11)和方程(11),即可得式(18).证毕.
第12期《中国科学技术大学学报》征稿简则
《中国科学技术大学学报》征稿简则 《中国科学技术大学学报》由郭沫若、华罗庚和严济慈等一大批老一辈科学家亲手于1965年在北京创刊,先后有39位院士担任编委.由中国科学院主管,中国科学技术大学主办,为综合性自然科学国家重点级核心学术期刊(月刊,国内外公开发行),主要刊登具有创新性、高水平的学术论文以及由科学大家或知名教授撰写的反映学科前沿的评述,并且开辟专家论坛,就一些重大科学研究问题进行有益的讨论. 欢迎国内外学者投稿,中英文稿均可.
1 栏目 本刊设研究论文、研究快报、特约评述和专家论坛等栏目. 1.1 研究论文 介绍某一课题高水平研究成果.来稿要求内容充实,推论严谨,数据可靠、完整,文字精练,结论正确.欢迎发表系列论文和团队论文.
1.2 研究快报 简要、快速报道某一研究工作取得重要进展或突破的创新性、高水平的阶段性成果和主要结论.要求方法从简、数据完整,结论明确,篇幅不超过4000字. 1.3 特约评述 综述某一重要研究领域的代表性成果,评论研究现状,提出尚待解决的问题,并指明今后研究方向.一般约请科学大家或知名教授撰写,作者亦可向编辑部自荐. 1.4 专家论坛 就科学研究重大基础问题、前沿问题或热点问题提出解决问题的新思路,发表不同的见解或进行必要的有益讨论.
2 投稿要求和注意事项 2.1 正文书写顺序 标题(一般不超过20个汉字)、作者姓名、作者单位,所在城市及邮政编码、中文摘要、关键词(3~8条)、中图分类号(数学稿还须提供AMS Subject Classification,参照http://just.ustc.edu.cn)、与中文相对应的英文标题、作者姓名(汉语拼音,姓前名后,姓全大写,名首字母大写)、作者单位译名、英文摘要、英文关键词、正文、参考文献.若为英文稿,题名不超过100个字符,书写顺序同上. 在文稿首页地脚处注明基金资助项目名称及项目号(将作为论文评审时参考的重要背景资料),并对第一作者(姓名,性别,出生年,学位/职称,目前主要从事的研究方向及E-mail)与通讯作者(姓名,学位(博士以上才注)/职称(教授以上才注),E-mail及必要的联系电话)简要介绍.通讯作者是课题负责人或导师,要负责及时对读者的问题给予解答.
2.2 对摘要的要求 摘要内容应包括有与论文同等量的主要信息,应说明研究目的、采用的方法、研究成果及结论四个部分.中英文摘要需对应.中文摘要约250个汉字,英文摘要约1500个字符.请参照EI,SCI要求,避免使用“This paper,in this paper(本文)”或“I(我)”等,用词要客观,尽量减少不必要的修饰.
2.3 对量、单位及符号的要求 文中物理量、计量单位及符号的使用必须符合国际标准和国家标准(GB3100-93~GB3102-93).正确书写易混淆的外文字母的文种、大小写、正斜体、黑白体及上下角标.
2.4 对图、照片、表的要求 文中图要直观、简明、清晰.图中的文字、符号、纵横坐标必须写清,并与正文保持一致. 图版、照片必须图像清晰,层次分明,请提供矢量图或线条图,不接收扫描图;可根据作者需要印刷彩页. 表的格式采用三线表,必要时可加辅助线,所用文字、符号、单位要与正文一致. 图、图版、照片、表均要求提供中、英文对照的图题、表题.
2.5 对参考文献的要求 参考文献必须标全并注意引用国内外及本刊的最新文献.按在文中出现的先后次序列于文后,用数字加方括号表示,如[1],[2],…,与正文中的指示序号一致. 本刊执行国家标准《文后参考文献著录规则》(GB/T 7714-2005)和《中国学术期刊(光盘版)检索与评价数据规范》,并参照EI,SCI要求.中文参考文献请先按下列格式完整列出其英文,然后完整著录出中文. 各类参考文献条目的编排格式如下:
期刊类 作者名.引文题目[J].期刊名,出版年份,卷(期):起止页码. 专著类 作者名.书名[M].版本(第一版不写).出版地:出版者,出版年:起止页码. 论文集类(或会议论文集类) 引文作者名.引文题目[C]∥论文集主编名.论文集名.出版地(会址):出版者,出版年:起止页码. 学位论文类 作者名.题名[D].保存地点:保存单位,年份. 专利类 专利所有者.专利题名:专利国别,专利号[P/文献载体标志].出版日期. 标准类 标准编号,标准名称[S]. 电子文献类 作者名.电子文献题名[文献类型标志/文献载体标志].[引用日期].获取和访问路径. 作者(或编者、译者)不超过3人时全部写出,超过者只写前3人,后加“等”或“et al”,书写外文作者或编者时,姓前名后,名用缩写. 所引文献必须是作者直接阅读过的、最主要的、发表在正式出版物上的文献,请核实所著录的文献;尚未公开发表的论文、预印本等,一律不列入正式文献,如有必要可作注释处理,一般在当页下脚加注.
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